随机微积分为何这么难？通过简单的纳维过程说明

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本文导读目录：

1、基于维纳过程的锂离子电池剩余寿命预测

2、随机微积分为何这么难？通过简单的纳维过程说明

3、【背景知识】维纳过程和股票运动规律

　　锂离子电池内部结构复杂,受外界影响大,使其容量退化过程具有不确定性因素而呈现随机性.对电池容量退化服从非线性维纳过程建立状态空间模型,并认为参数是服从共轭分布的随机变量,增加了模型不确定性使之更加符合锂离子电池容量的退化过程.利用自助法获得先验分布参数初始值,由共轭分布的性质可以得到后验分布的类型,由此得到简便的参数估计方法.粒子滤波可对每一时刻的参数及退化状态进行估计和更新,根据提前设定的状态阈值可以预测电池的剩余寿命.具体实例验证了方法的准确性,该方法对可靠性高、样本量少的电池的剩余寿命预测有借鉴意义.　　随机微积分是数学的一个分支，主要研究随机过程（如时间上随机的过程或服从某些统计性质的随机变量序列）及其相关的微积分。它在工程、科学、定量金融和精算科学中有许多应用。这是一个很难学习的学科，因为大多数关于这个主题的书都假设读者是一个数学家，拥有大量抽象数学的知识。 　　在这篇文章中，我将描述随机积分最基本的组成部分，维纳过程W(t)，这需要读者熟悉基本的统计和概率概念，诸如概率分布、随机变量的统计矩和矩量母函数等。 　　W(t)的基本性质 　　维纳过程W(t)也被称为布朗运动，是一个时间上的随机过程，具有以下统计性质， 　　其中E[…]表示均值或期望值，Var[…]表示方差。本质上，整个过程在时间t上的均值为0，但它的方差随时间线性增加，也就是说，时间越长，方差越大。我们可以把它想象成一个受到随机力作用的粒子。时间过得越久，就越难预测它的位置。例如，如果我们考虑一个一维轨迹（仅向左或向右运动），并且质点的位移表示为X(t)，那么当质点受到维纳过程（例如在每个时间点随机轻推）时，位移X(t)将具有如下图所示的样本轨迹。 　　受一维维纳过程样力作用的粒子随机轨迹。 　　类似地，维纳过程中无穷小的增量dW(t)具有统计性质 　　dt是一个无限小的时间步长。如果我们在离散的意义上考虑这个问题，可以将“维纳增量”建模为 　　其中N(0,1)是一个标准正态随机变量，均值为0，方差为1。维纳过程还有这样的性质。 　　对于任意两次t > s。 　　W (t)函数 　　如何计算包含随机变量的函数的统计量？例如，使用矩量母函数的概念，一个指数函数和正态随机变量的三角函数。在维纳过程的情况下，我们可以使用定义计算矩量母函数， 　　其中X为正态分布，均值为0，方差为1。a为任意常数，用于计算W(t)的统计矩。因此，一维的矩量母函数仅仅是函数乘以它的概率密度函数的积分（正态分布随机变量的概率密度函数为高斯分布），并被写成 　　使用高斯函数积分的标准结果，我们得到 　　由此我们可以计算W(t)的矩如下， 　　例如，前四个矩是 　　类似地，我们可以计算W(t)的其他函数的统计量。让我们看几个例子。 　　例1 　　首先利用欧拉公式将正弦函数转化为指数的和，然后利用W(t)的矩量母函数性质求其平均值，得到W(t)的正弦函数： 　　例2 　　让我们找到期望值的一般公式 　　从下面的定义开始： 　　其中X是一个标准正态随机变量。然后 　　这里我们用分部积分法得到 　　最后一个表达式可以使用递归关系求值，得到 　　当n是奇数时为0。由此我们可以写 　　例如，我们可以用之前的结果来验证这一点 　　给出了我们从使用矩量母函数获得的期望结果。 　　例3 　　求过程的均值和方差 　　这个例子比较难，但很有趣。我们首先将函数写成泰勒级数展开， 　　然后应用期望运算符， 　　回想一下，由于W(t)是正态分布，均值为零，所有奇数矩都消失了，我们可以写出简化的表达式 　　现在，让k = n + 2 ，n = k - 2，我们写 　　得到， 　　因此 　　这个表达式可以进一步简化为 　　从而得到预期值的最终结果， 　　为了得到方差，我们从求值开始 　　如下 　　使用前面的相同结果，我们展开， 　　写成k = n - 1和n = k + 1 　　由此我们得出结论 　　我们可以通过计算机来验证这些确切的结果。下面是我的验证情况，我对函数f(W)采样1000次，然后计算均值和方差。对比下图所示， 　　均值。 　　方差。 　　当然，维纳过程还有许多其他有趣的函数，但希望我在这里介绍的例子可以作为一个好的起点。　　在讲了马尔科夫过程之后，我们来说个有趣的东西——在上述理论下，股票的运动方式。 　　看这篇之前，你可能需要参考：【背景知识】马尔科夫过程和伊藤引理 - Percy2.0的文章 - 知乎专栏 　　如果我们还没忘记的话，我们说如果一个马尔可夫过程中，增量的概率分布服从于一个关于时间t的正态分布，我们就说这个过程是维纳过程，或者说布朗运动，表示成这个样子： 　　一定要注意，维纳过程本身也是伊藤过程的一个特殊形式，它是包含在伊藤过程这个概念里面的——常值函数也是函数呀对不对，所以伊藤引理的所有性质，在维纳过程上都是可以用的。 　　好，那么我们现在做几个定义：S为股票的价格，dS表示股票的变化量（注意，并不是变化率）；股票变化率是一个广义维纳过程： 　　好了，那么根据维纳过程，我们可以写出下面的这个式子： 　　或者写成微分方程的形式就是： 　　其中，是漂移率，而这里我们给它一个新名字——波动率。而这个方程，就是我们经常说的一个运动——几何布朗运动。 　　啊哈，是不是一下子感觉亲切多了23333，毕竟波动率这货总是见到嘛。而这个式子很有趣，是的时候的一个极限形式——也就是微分形式；它的变化量形式应该是下面这个： 　　这里服从一个标准正态分布——注意，上下两式中，一个是dz，一个是,这两个是什么关系呢？其实这两个的关系是这样的：设z是一个严格的维纳过程（服从N（0，）） ，则有 　　所以在式中，我们是把写成了dz的形式。（我估计读昨天的伊藤引理的时候你们都没有发现我偷偷换了符号23333） 　　好，这个式子很有用，它描述了一个股票的基本变动形式——股票未来价格的变动不受历史的变化所制约，而只和当前价格有关；股票的价格变动幅度符合广义维纳过程，也从而使得股票S的运动是几何布朗运动；股票波动的行为可以看成是漂移量加上一个严格意义上的布朗运动的波动量的形式； 　　根据上面这个，我们很容易知道为什么波动率，或者说历史波动率——也就是能够算出来的那个——没有用了：因为注意，布朗运动的独立性导致前面的波动率对后面的波动率是相互独立的。虽然说可能有的时候我们要做一个参考，但是并没有什么卵用——进一步地讲，这也就是为什么我们如此喜欢去求隐含波动率，或者说前瞻波动率的原因了。 　　说了这么多，我们下面说几何布朗运动下，结合对数收益率对方程进行变换。 　　这里需要一点小知识——对数收益率；如果你不知道对数收益率的话，请参考：【背景知识】复利和连续复利率 - Percy2.0的文章 - 知乎专栏，其中，对数收益率就是连续复利率。这里我们就不赘述了。 　　那么根据伊藤引理和对数收益率呢，我们对做一些小小的变动： 　　根据伊藤引理，如果S遵循了广义维纳过程，那么其函数也应该遵循维纳过程，所以令,就有： 　　代入也就是 　　这样，我们就给出一个关于函数f的维纳过程，即 　　或者改写成更好看的形式： 　　好了，这一步完成——我们就形成了股票价格变动向对数收益率转变的过程——这一路我们都是算下来的，所以我们就可以得出，lnSt服从正态分布，所以股票价格S具有对数正态分布的特性。这样的特性给出我们一个非常好的结论——如果一个股票的变化率变动是几何布朗运动的模式，则其对数收益率符合广义维纳过程。 　　好，其实这里总是反反复复的去说一件事情，希望大家对这种布朗运动下的股票运动模式有了一个基本的了解。

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